Метод графических интерпретаций при решении задач с параметром

Ахматнабиева Ирина Николаевна

В современном мире каждый человек хочет получить хорошую, престижную профессию, чтобы в дальнейшем обеспечить свою жизнь. Для этого уже в школьном возрасте нужно осваивать не только учебный материал для того, чтобы, имея прочные знания получить высокие баллы на ЕГЭ.  Для всех выпускников очень важно набрать большое количество баллов на ЕГЭ по математике, так как это прямым образом влияет на шансы поступить в желаемый ВУЗ. Добиться этого довольно непросто: учебного времени не хватает для углубленной подготовки к заданиям высокого уровня сложности, одним из которых является задание №18 - уравнения и неравенства с параметром, приемы и способы решения которых в школьной программе глубоко не рассматриваются.

Рассмотрим теоретическую базу для решения задач с параметром графическими методами.

 Угол наклона прямой

Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат хОу и задана некоторая прямая l. Обозначим буквой Р точку пересечения этой прямой с осью Ох. В точке Р прямая Ɩ образует с осью Ох несколько уг­лов.

Под углом между прямой Ɩ и осью Ох понимается угол φ в пределах             0° < φ < 180°, на который надо повернуть положительное направление оси Ох вокруг точки Р против часовой стрелки до его совпадения с прямой Ɩ. (Если измерение угла происходит в радианах, то 0 <φ < π). Если прямая Ɩ параллельна оси Ох или совпадает с ней, угол считается равным 0°

Из этого определения следует, что:

-  угол между прямой и осью Ох не может быть отрицательным;

-  угол строго меньше 180°;

    -  увеличение угла идет против часовой стрелки.

Уравнение прямой

В школьном курсе математики доказывается, что графиком линейной функции у = kх + b при всех k и b является прямая линия. Верно и обратное утверждение: если на плоскости введена прямоугольная система коорди­нат, тогда любую прямую l, не перпендикулярную оси Ох, можно задать уравнением: y= kx + b.                           

Прямая перпендикулярная оси Ох задаётся уравнением         х = с.

В уравнении у = kх + b коэффициент k называется угловым коэффициентом, b - свободным членом. Например, уравнения у = 6х + 2 и            у = 3–5х задают прямые линии с угловыми коэффициентами k1 = 6 и k2= -5 соответственно.

Геометрический смысл параметров прямой

Пусть функция у = kх + b задает на плоскости хОу прямую Ɩ, обра­зующую с осью Ох угол ϕ. Тогда коэффициент k в точности равен тан­генсу угла наклона прямой Ɩ к оси Ox . т. е. k = tg φ . Этот факт доказывается в школьном курсе математики.

Если в уравнении у = kх + b взять х = 0, то у = к·0 + b = b. Из этого ясно, что b - координата точки, в которой прямая l пересекает ось Оу.

Эту геометрическую интерпретацию углового коэффициента k и свободного члена b мы будем часто использовать при решении задач графическими методами.

Заметим, если в уравнении у = kх + b взять k = 0, то оно примет вид:

y = 0· x + b, т.е. y = b.

Как известно, уравнение у = b определяет на плоскости прямую, параллельную оси Ох, проходящую через точку b.

Графическое решение уравнений и неравенств

Пусть нам надо решить уравнение

f(x) = g(x)

Если построить графики у= f(x) и у = g(x), то число решений уравнения в точности равно числу пересечений этих графиков, а сами корни - это абсциссы точек пересечения. 

Аналогичная картина имеет место и при решении неравенств. Пусть нам надо решить неравенство f(x) <g(x). Построив графики функций y1= f(x) и y2= g(х), мы должны найти все точки х, при которых график y1 находится выше графика y2. На рисунке видно, что этим множе­ством будет объединение промежутков [a; x1) U (x2;x3).

Метод графических интерпретаций        

Важной частью культуры, необходимой для овладения методам решения нестандартных уравнений и неравенств, является умение строить графики элементарных функций и использовать графические интерпретации уравнений и неравенств. Задачи, в решении которых графические интерпретации играют ключевую роль, можно разделить на три группы:

Перейдем теперь к задачам, существенной частью решения которых является построение графика некоторой функции, в том числе при помощи элементарных преобразований графика известной функции. Даже если преобразования графиков ранее не изучались, понять, как они «устроены» и как «работают», можно, задавая себе довольно очевидные вопросы и отвечая на них.

С помощью последовательных преобразований графиков можно из графика функции получить график функции. Рассмотрим возможную последовательность таких преобразований.

Постройте график функции y = x^2 - 2x - 4 |x|и определите, при каких значениях прямая y = c- 2 имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

 Такие задачи основываются на геометрических построениях. Многие из таких задач основываются на построении графика окружности, формулой расстояния между двумя точками и уравнением прямой т.е. с расстояниями и методом координат.

Чтобы решать такие задачи необходимо понимать, что, собственно строить. Для этого нужно просто «перевести» уравнение или неравенство в, нужное нам, его описание.

Для этого приводим таблицу, которая может помочь в освоении этого метода:

 Таким образом, переведя формулу графика, можно его построить и дальше решать, как обычное задание.

Автор(ы): Ахматнабиева Ирина Николаевна
Приложения: