Образовательный портал

Электронный журнал Экстернат.РФ, cоциальная сеть для учителей, путеводитель по образовательным учреждениям, новости образования

  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

Рейтинг:  5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

 

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ГБОУНПО

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:

«ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА»

 

 

                                                                               ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

                                                                               ПЕРШИКОВА

                                                                               МАРИАННА СТЕПАНОВНА

 

СОГЛАСОВАНО:

ПРОТОКОЛ МК

ОТ «___»______ 2012г

 

 

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2011-2012 УЧ. ГОД

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА

 

ТЕМА:Создание электронной базы данных по преподаванию алгебры на

II курсе по разделам «Показательная функция. Показательные уравнения

и неравенства», «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения

и неравенства», «Системы показательных и логарифмических уравнений»

 

     Данная методическая работа может быть использована как опорный конс-

пект по указанным темам для учащихся, которые хотят восполнить пробелы

в знаниях в связи с пропуском занятий, более глубоко усвоить пройденный

материал, ознакомиться с уровнем заданий, предлагаемых для сдачи ЕГЭ.

     К работе прилагается дидактический материал в виде карточек-заданий

для индивидуальной работы по материалам для сдачи ЕГЭ (базовый уровень)

 

Основные цели предлагаемой работы:

1.     Формирование понятий о показательной функции, о степени с произвольным действительным показателем, о свойстве показатель-

     ной функции, о графике функции, о симметрии относительно оси

     координат

2.  Формирование умения решать показательное уравнение различными

      методами: уравниванием оснований, уравниванием показателей, выне-

      сением общего множителя за скобки, введением новой переменной.

3.   Овладение умением решать показательные неравенства различными

методами.

4.    Овладение навыками решения системы показательных уравнений.

5.    Формирование представлений о логарифме, об основании логарифма,

        о логарифмировании, о десятичном логарифме, о  натуральном лога-

        рифме, о формуле перехода от логарифма по одному основанию к

        логарифму по другому основанию.

6.     Формирование умения применять свойства логарифмов: логарифм

        произведения, логарифм частного, логарифм степени при упрощении

        выражений, содержащих логарифм.

7.     Формирование понятий  о логарифмической функции, ее графике

        и свойствах.

8.     Овладение приемами нахождения области определения логарифми-

        ческой функции.

9.     Овладение умением решать логарифмическое уравнение, переходя

        к равносильному логарифмическому уравнению, применяя метод

        потенцирования, метод введения новой переменной, метод логариф-

        мирования.

10.   Овладение навыками решения логарифмического неравенства.

 

 

 

Показательная функция, ее график и свойства.

 

      у=ах, где а>0; а≠1; х - любое, называется показательной функцией.

      Схематический график показательной функции выглядит следующим

образом:

   1. у=ах, если а>1                                                2. у=ах, если 0<а<1

                       

 

Свойства функции.

 

   1. ООФ   х є(-∞; ∞)

   2. Область изменения значения функции  у є(0; ∞), т.е. ах>0 всегда, при

    любом «х»

   3. Eсли  х = 0, то ах 0=1 Все графики проходят через точку (0;1)

   4. у=ах, если а>1 – возрастающая, если а<1 – убывающая

   5. Если а>1 и х→∞, то  ах→∞

       Если х→-∞, то ах→0

  Если 0<а<1 и х→∞;  ах→0; х→-∞;  ах→∞

 

   Выполнить упражнения: Алимов, 10-11.  упр.№ 195, 196, 199, стр.74

   Образец решения:

   №195(2)

   Сравнить числа 0,32 и 1; т.к. 1=0,30, то сравним 0,32 и 0,30, т.к. основание

а= 0,3<1, то функция убывающая, следовательно  0,32 <0,30

   №196(2)

   Сравнить с 1  (3,5)0,1;  т.к. 1=(3,5)0, то сравним (3,5)0,1 и (3,5)0, т.к. а=3,5>1,то функция возрастающая, следовательно (3,5)0,1> (3,5)0, т.е. (3,5)0,1>1

   №199(2)

   Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция  у=(1/7)

Решение (1/7)=7х, следовательно у=(1/7) - возрастающая

 

Показательные уравнения

 

     Определение: Уравнение, содержащее неизвестное только в показателе

степени, называется показательным.

     Существуют три способа решения показательных уравнений. Решение

уравнений всеми способами сводится к решению уравнения аf(x)g(x), где

а>1 и а≠1. Так как основания равны, то равны и показатели степеней, т.е.

f(х)=g(х).

   Iспособ решения.Уравнивание оснований обеих частей уравнения.

   Примеры с решением.

   1. 2х=32;  2х=25;  х=5  Ответ: х=5

   2. 49х=1/7;  7=7-1;  2х=-1;  х=-1/2  Ответ: х=-1/2

   №208, 209, 210

   Образец решения:

    №210(2)

    2∙4х=64;  21∙2=26;  21+2х=26;  1+2х=6;  2х=6-1;  2х=5;  х=5/2  Ответ: х=2,5

 

   IIспособ решения.Вынесение общего множителя за скобку.

   Примеры с решением.

   1. 2х-2х-2=3;  2х-2х∙2-2=3;  2х(1-1/4)=3;  2х∙3/4=3;  2х=3∙4/3=4;  2х=22;  х=2

      Ответ: х=2

   2. 2х+1+3∙2х-1-5∙2х+6=0

    2х∙21+3∙2х∙2-1-5∙2х=-6

    2х(2+3/2-5)=-6

    2х(-3/2)=-6

    2х=-6∙-2/3=4;  -2∙-2=4;  2х=22;  х=2  Ответ: х=2

   Выполнить упражнения: Алимов, упр.№ 211, 218, стр.77

   Образец решения:

   №218(2)

   32у-1+32у-2-32у-4=315

   3∙3-1+3∙3-2-3∙3-4=315

   3(1/3+1/9-1/81)=315

   3∙35/81=315

   3=315∙81/35

   3=9∙81

   3=32+4

   3=36

   2у=6

   у=3

      Ответ: у=3

 

 

IIIспособ решения. Приведение к квадратному уравнению.

ах+b=0 Такое уравнение решается методом введения новой перемен-

ной t.

ах=t; тогда t2+t+b=0. Находим t1и t2; затем в подстановку подставляем

найденные t1и t2;

ах= t1, находим х1;       ах= t2, находим х2

Примеры с решением.

   1. 3х+2+9х+1-810=0

      3х+2+32х+2-810=0

      3х∙32+3∙32-810=0

      3х=t

      9t+9t2-810=0;  9t2+9t-810=0 | : 9

      t2+t-90=0;  t1=9;  t2=-10;

      3х=9;  3х=32;  х=2

      3х=-10  решений нет, т.к. 3х>0 всегда, при любом х.

      Ответ: х=2.

   2. 5х+125∙5=30

      5х+125/5х=30 | ∙ 5х

      5+125-30∙5х=0

      5х=t

      t2-30t+125=0

      t1=25

      t2=5

      5х=25;  5х=52;  х=2;

      5х=5;  х=1

      Ответ: х=1;  х=2.

   3. 3-3х=702

      3х=t

      t2-t-702=0;  t1=27;  t2=-26;

      3х=27;  3х=33;  х=3

      3х=-26  решений нет, т.к. 3х>0;

     Ответ: х=3.

   Уравнения по IIIспособу решения повышенной сложности.

   4. Аах+Вах/2∙bх/2+Сbх=0

      Решается делением, например, на ах≠0 (или на bх≠0)

      А(а/b)х+В(а/b)х/2+С=0;  получаем квадратное уравнение, например:

      3∙25х-5∙10х+2∙4х=0

      3∙5-5∙2х∙5х+2∙2=0  разделим каждый член уравнения на 2≠0

      3(5/2)-5∙(2х∙5х/2)+2=0

      3(5/2)-5∙(5/2)х+2=0

      (5/2)х=t

      3t2-5t+2=0;  t1/2=5±/6

      t1==1;  t2==2/3

      (5/2)х=1;  (5/2)х =(5/2)0;  х1=0

      (5/2)х=2/3;  х2=log5/22/3

      Ответ: х1=0; х2=log5/22/3.

   5. 7х-2=32-х;   7х-2=(1/3)х-2;  разделим обе части на (1/3)х-2; имеем

      ()х-2=1;  21х-2=1;  21х-2=210;  х-2=0;  х-2

      Ответ: х=2.

   6. 28-х+73-х=74-х+23-х∙11

      28-х-23-х∙11=74-х-73-х

      23-х(28-х-3+х-11)= 73-х(74-х-3+х-1)

      23-х(25-11)= 73-х(7-1)

      23-х∙21=73-х∙6

      (2/7)3-х=6/21;  (2/7)3-х=2/7;  3-х=1;  -х=-2;  х=2

      Ответ: х=2.

   Выполнить упражнения: Алимов, 10-11, упр.№213, 219(1,2), стр. 77,78

 

Решение показательных неравенств.

 

                                           af(x)>ag(x)

 

       
   

 

 


если а>1, то f(x) >g(x)                                    если 0<а<1, то f(x) < g(x)

т.е. знак неравенства                                      т.е. знак неравенства

сохраняется                                                     меняется на противопо-                                                

                                                                          ложный

 

      Показательные неравенства решаются теми же способами, что и

показательные уравнения.

   Примеры с решением.

   1. (1/2)-2х+5<(1/2)-5, т.к. основание меньше 1, то -2х+5>-5;  -2х>-10;  х<5;

    Ответ: (-∞; 5).

   2. 32х-5<35х-6, т.к. а>1, то 2х-5<5х-6;  -3х<-1;  х<1/3

      Ответ: (1/3; ∞).

   3. 1/27≤32-х<27

      3-3≤32-х<33

      -3≤2-х<3  Перенесем (т.е. отнимем 2 от обеих частей неравенства)

      -3-2≤-х<3-2

      -5≤-х-1;  -1<х≤5

      Ответ: (-1;5].

   4. 22х-1+22х-2+22х-3≥448

      2∙2-1+2∙2-2+2∙2-3≥448

      2(1/2+1/4+1/8) ≥448

      2≥448

      2∙7/8≥448

      2≥(448∙8)/7

      2≥64∙8

      2≥26∙23

      2≥29;  2х≥9;  х≥4,5

      Ответ: [4,5; ∞).

   5. 3∙9х-10∙3х+3<0

      3∙3-10∙3х+3<0

      3х=t

      3t2-10t+3<0;  3t2-10t+3=0

      t1/2=10±/6=10±8/6

      t1==3;  t2==1/3

      1/3

      3-1       3-1<3х<3

      -1<х<3

      Ответ: (-1; 3).

 

 
 

 


   6. 9х+3х-12>0

      3+3х-12>0

      3х=t

      t2+t-12>0;  t2+t-12=0                                                                                 t

       t1=-4;  t2=3                                                              -4                    3

       t>3;  t<-4

      3х<-4 решений нет, т.к. 3х>0

      3х>31;  х>1

      Ответ: (1; ∞).

   Решить самостоятельно: 25х-2∙5х<0

   Выполнить упражнения: Алимов, стр.81, №228,229,231,232,233

   Разберем №231(4)

   (2)6х2+х≤7

   (8/3)6х2+х≤64/9

   (8/3)6х2+х≤(8/3)2

   6х2+х≤2

   6х2+х-2≤0

   х1/2=(-1±)/12=(-1±7)/12

 

 

Решение систем показательных уравнений

   Алимов, стр.84, №240-243

   №240(1)

   2х-у=1                       

   5х+у=52

   2х-у=1

   5х+у=52

   2х-у=1 

   х+у=2

   3х=3; х=1;       1+у=2; у=1;

   Ответ: (1;1)

   №241(1)

   4х∙2у=32

   38х+1=3

   2∙2у=25

   38х+1=3

   2х+у=5

   8х+1=3у

   2х+у=5  |∙3

   8х-3у=-1

   6х+3у=15

   8х-3у=-1

   14х=14;  х=1

   2∙1+у=5;  у=5-2=3

   Ответ: (1;3)

 

   242(1)

   2х+2у=6

   2х-2у=2     произведем сложение

   2∙2х=8        22+2у=6

   2х=4           2у=6-4

   2х=22          2у=21

   х=2             у=1

   Ответ: (2;1)

243(1)

   5х-5у=100

   5х-1+5у-1=30

   5х-5у=100

   5х∙5-1+5у∙5-1=30

   5х-5у=100

   1/5(5х+5у)=30

   5х-5у=100

   5х+5у=150

 

   2∙5х=250;  5х=125;  5х=53;  х=3

       53=100+5у;  5у=125-100;  5у=25;  5у=52;  у=2

   Ответ: (3; 2)

 

     К данной методической работе прилагаются карточки-задания в виде

раздаточного материала, соответствующему базовому уровню при сдаче

ЕГЭ по математике, а также диагностическая контрольная работа.

 

Образец контрольной работы №1 по теме:

«Показательная функция»

   Вариант 1.

   1. Решить уравнение:

      а) (16/25)х+3=(125/64)2

      б) 5х+1+5х+5х-1=155

      в) 32х+5=3х+2+2

   2. Решить неравенство:

      а)2х2>(1/2)2х-3

      б) 52*+1+4∙5х>1

   3. Решить систему уравнений:

      2х+у=32

      33у-х=27

 

 

   Вариант 2.

   1. Решить уравнение:

      а) (2/3)1-2х=(27/8)-3

      б) 2∙7х+2+7х-1=687

      в) 42х-3-3∙4х-2-1=0

   2. Решить неравенство:

      а) 10х2<10-3∙(103-х)2

      б) 9х<10∙3х-9

   3. Решить систему уравнений:

      32у-х=1/81

      3х-у+2=27

 

Диагностическая контрольная работа по теме:

«Показательная функция»

   Вариант 1.

   1. Укажите, какие из перечисленных функций являются возрастающими:

      а) у=0,3х;  б) у=(1/7);  в) у=1,3;  г) у=0,7;

   2. Сравнить числа:

      (1/5)0,2 и (1/5)1,2

   3. Найдите значение выражения:

      91,5-810,5-(0,5)-2

   4. Решите уравнение:

      323х-1=

   5. Решите систему уравнений:

      4х∙2у=32

      38х+1=3

 

   6. Решите показательное неравенство:

      9х-8∙3х+1-81≥0

 

Диагностическая контрольная работа по теме:

«Показательная функция»

 

   Вариант 2.

   1. Укажите, какие из перечисленных функций являются убывающими:

      а) у=0,18х;  б) у=1,69х;  в) у=(1/2);  г) у=4;

   2. Сравните числа:

      5-0,2 и 5-1,2

   3. Найдите значение выражения:

      251,5+(0,25)-0,5-810,75

   4. Решите уравнение:

      0,752х-3=(1)5-х

 

 

   5. Решите систему уравнений:

      33х-2у=81

      3∙3у=27

   6. Решите показательное неравенство:

      49х-48∙7х≥49

 

 

 

Логарифмическая функция.

 

Понятие логарифма числа

   Запишем равенство ас=b, где а-основание степени; а>0;  а≠1, с-показа-

тель степени; с-любое число; b=ас – степень; b>0 всегда.

Например: 23=8; 2-основание степени; 3-показатель степени; 8-степень;

Пусть одно из значений а;b;с- неизвестно, тогда могут быть три случая:

      1. Неизвестно основание (обозначим его за «х»). Рассмотренное равенство примет вид: хс=bили х3=8. Основание степени находим действием  извлечения корня: х= или х=

      2. Неизвестное – степень. Рассмотренное равенство примет вид: ас

или 23=х;  х=8 Значение «х» находится по определению степени.

      3. Неизвестен показатель степени, в которую надо возвести основание,

чтобы получить данную степень  ах=b;  2х=8

   Определение:Показатель степени, в который надо возвести основание,

чтобы получить данное число, называется логарифмом данного числа по

данному основанию и обозначается:

   х=logаb(а>0; а≠1; b>0);  х=log28 (8>0; 2>0)

     Итак, учащийся должен уметь переходить от равенства ас=bк равенст-

ву logаb=с и наоборот.

   Пример: Записать показательные равенства в виде логарифмических

      а) 25=32;  log232=5

      б) 7-2=1/49;  log71/49=-2

      в) (3/2)-3=8/27;  log2/38/27=-3

      г) (0,25)-0,5=2;  log0,252=-0,5

   Для самостоятельной работы: Алимов 10-11, стр.92, №266

   Перейти от логарифмической записи к показательной и вычислить:

   №267

         log216=4;  log264=6; log22=1;  log21=0

Решить самостоятельно: №268(1,2,3), №269, №270(1,2), №271(1-5), №272,

№273

   Разберем наиболее сложные примеры:

   №268(4)

      log21/=х  - обозначим искомый логарифм за «х»; запишем это равенство в виде показательного по определению логарифма  2х=1/; приведем обе части равенства к одному основанию:

      2х=1/21/4;  2х=2-1/4;  х=-1/4

   №270(4)

      log31/=х;  3х=1/;  3х=3-1/4;  х=-1/4;

      Найти «х», если log√2х=8

      Решение: ()8=х;  (21/2)8=х;  24=х;  х=16

 

 

 

Основное логарифмическое тождество

   аlogаb=b  (а>0; а≠1; b>0); 

   Примеры:

   №274 Вычислить:

      а) 3log318=18;  (1/4)log1/416=16

          10log102=2

      б) 9log35=(32)log35=52=25

      в) 35log32=25=32

      г) 5log252

      Обозначим искомое выражение за «х»; тогда основание 5=, тогда

      условие можно записать √25log252=251/2log252=(25log252)1/2=21/2=

      Ответ:

      д) 811/4-1/2log94=811/4/811/2log94=(34)1/4/91/2∙log94=3/9log94=3/4

      (по правилу действия со степенями аm-n=am/an)

      Ответ: 3/4;

   Решить самостоятельно: Алимов 10-11, упр. 275, 276, 280, 281

 

Свойства логарифмов (теоремы логарифмирования)

   1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей

      loga(b∙c)=logab+logac

   2. Логарифм частного (деления) равен логарифму числителя минус

логарифм знаменателя:

      logab/c=logab-logac

   3. Логарифм степени равен показателю степени, умноженному на лога-

рифм основания степени:

       logabr=rlogab

   Во всех трех теоремах: а>0; а≠1; b>0; с>0; r- любое число.

   Примечание: сумма и разность не логарифмируются

Пример: №291(1); 290(1); 292(1); 293(1); 294(1);

   1. log215-log215/16=log2=log216=4  (по свойству 2)

   2. log105+log102=log10(5∙2)=log1010=1 (по свойству1)

   3. log13=log13=log13132/5=2/5log1313=2/5  (по свойству 3)

   4. log812-log815+log820=log812/15+ log820=log8(∙20)=log816

      Обозначим log816=x, тогда 8х=16;  2=22;  3х=4;  х=4/3;

      Таким образом  log816=4/3  ( по свойствам 1 и 2)

   5. log38/log316=log323/ log324=3log32/4log32=3/4  (по свойству 3)

   Решить самостоятельно: 290(2-4), 291(2-4), 293(2-4), 294(2-4)

 

Десятичные и натуральные логарифмы

Формула перехода от логарифма по одному основанию

к логарифму по другому основанию.

 

   Определение 1.Логарифмы по основанию 10 называются десятичными

и обозначаются: log10b=lgb

Полезно знать, как вычисляются десятичные логарифмы чисел, изобра-

женных единицей с нулями:

     lg1=0                                           lg0,1=-1

     lg10=1                                         lg0,01=-2

     lg100=2                                       lg0,001=-3

     lg100=3

 

     lg10…0=n                                   lg0,00…01=-n

          n                                                     n

   Определение 2.Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e-иррациональное число, приближенно

равное 2,7, и обозначается logeb=lnb

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по

другому основанию logab=logcb/logca, где b>0;  а>0; а≠1; c>0; с≠1

 

   Упр. №305(1-3)                 Упр. №305(4-6) решить самостоятельно

   Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7.

   log53=log73/log75

   lg6= log76/log710

   log27= log77/log72=1/log72

   Упр. №308

   Дано: log72=m

   Найти: log4928

   Решение:

   log4928=log728/log749= log7(4∙7)/log749= (log74+log77)/2=(log722+1)/2=

   (2log72+1)/2=(2m+1)/2

   Упр. №309 решить самостоятельно.

 

 

 

Образец контрольной работы №2 по теме:

«Свойства логарифмов»

   Вариант 1

   1. Вычислить:

      а) (1/7)1+2log1/73

      б) log78/( log715-log730)

      в) 1/2log736-log714-3log7

      г) 1/3log9log28

   2. Сравнить числа:

      3log1/318  и  17log1/33

   3. Дано: lg3=a;  lg2=b

      Найти: log56

 

   Вариант 2  приводится с решением

   1. Вычислить:

      а) (1/4)-5 log23+1

      Решение:

      (2-2)-5 log23∙(1/4)1=210 log23∙1/4=310=∙310

      Ответ:∙310

      б) (log536-log512)/log59

      Решение:

      (log536-log512)/log59=log5/log59=log53/log532=log53/2 log53=1/2

      Ответ: 1/2.

      в) 2 log1/36-1/2 log1/3400+3 log1/3

      Решение:

      2 log1/36-1/2 log1/3400+3 log1/3=log1/362-log1/34001/2+log()=

      log1/336-log1/320+log1/345=log1/3=log1/381=-4

      Ответ: -4.

      г) 2 log3log28

      Решение:

      2 log3log28=2 log33=2

     Ответ: 2

   2. Сравнить числа:

      2log1/211  и  12log1/33

      Решение:

      (1/2)log1/211  и  12-1

      1/11  и  1/12;  1/11>1/12

      Ответ: 2log1/211>12log1/33;

   3. Дано: log25=a

      Найти: log41250

       Решение:

      log41250=log21250/log24=log2(125∙2∙5)/2=(log253+log22+log25)/2=

      (3∙a+1+a)/2=(4a+1)/2

      Ответ: (4a+1)/2;

 

Логарифмическая функция, ее график и свойства.

   y=logax,  где  а>0; а≠1

Построим таблицу для двух графиков: y=log2x  y=log1/2x

x

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

y=log2x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=log1/2x

3

2

1

0

-1

-2

-3

 

 

Построим эти графики в одной системе координат:

 

Свойства функции:

 

1. ООФ  х ε (0;∞)

2. Область изменения значения функции  yε (-∞;∞)

3. Логарифм единицы по любому основанию равен 0; loga1=0;

Все графики проходят через точку с координатами (1;0).

4. logaa=1

a>1

0

5. y=logax - возрастающая

5. y=logax - убывающая

6. Логарифмы чисел больше единицы – положительны; если х>1, то logax>0

6. Логарифмы чисел больше единицы – отрицательны; если х>1, то logax<0

7. Логарифмы чисел меньше единицы – отрицательны; если 0<х<1, то logax<0

7. Логарифмы чисел меньше единицы – положительны; если 0<х<1, то logax>0

 

Теорема, используемая при решении логарифмических уравнений

и неравенств:

Если logax1=logax2, где а>0; а≠1, х1>0, х2>0, то х12

 

Решить упражнения: №318, 319, 320, 321  стр.103

 

Логарифмические уравнения.

   Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма, называет-

ся логарифмическим.

   При решении логарифмических уравнений необходимо выполнять сле-

дующие положения:

   1. Если равны логарифмы при одном основании, то равны и выражения,

стоящие под знаком логарифма, то есть если logaf(x)=logag(x), то f(x)=g(x).

   2. При решении уравнений необходимо учитывать область определения

уравнения  и следует следить за ее изменением в процессе решения урав-

нения. При расширении области определения посторонние значения мож-

но отбросить в результате проверки. При сужении области определения

обнаружить потерянные корни не всегда возможно, поэтому не следует допускать сужение области определения. 

 

Способы решения логарифмических уравнений.

I.По определению логарифма

   1. logx-1(x2-5x+10)=2

      Перейдем от логарифмической записи к показательной:

      (х-1)22-5х+10

      х2-2х+1-х2+5х-10=0

      3х=9;  х=3;

      Проверка:

      Левая часть: log3-1(32-5∙3+10)=log24=2;  2=2;

      Ответ: х=3

   2. log2(x2+4x+3)=3

      Перейдем от логарифмической записи к показательной:

      23= x2+4x+3;  x2+4x+3-8=0;  x2+4x-5=0;  х1=1;  х2=-5;

      Проверка:

      х=1   левая часть log2(1+4+3)=log28=3

      x=-5 левая часть log2(25-20+3)=log28=3

      Ответ: х=1;  х=-5

   3. 1/3 log3(2x+1)=1

      ОДЗ  2х+1>0;  2х>-1;  х>-1/2

      log3(2x+1)=3;  по определению логарифма 33=2х+1;  2х+1=27;  2х=26

      x=13;  ответ подходит по ОДЗ, следовательно х=13

      Ответ: х=13;

II. Сведение к квадратному уравнению

      log22x-3log2x-10=0

      ОДЗ х>0

      Примем  log2x=t, тогда t2-3t-10=0;  t1=5;  t2=-2

      log2x=5,  откуда 25=х;  х1=32

      log2x=-2, откуда 2-2=1/4;  х2=1/4

      Оба корня подходят по ОДЗ

      Ответ: х1=32;  х2=1/4;

III. Метод потенцирования: переход от равенства, содержащего, логариф-

   мы, к равенству не содержащему их.

   При выполнении преобразований не забывайте про область определения

   логарифмической функции.

   1. lgx=2-lg5;

      ОДЗ х>0

      lgx=lg100-lg5;  lgx=lg100/5;  lgx=lg20;  х=20;  Сравниваем ответ с  

      ОДЗ

      Ответ: х=20

   2. 2+log3(x-2)=1/3log3729 

      ОДЗ  х-2>0;  х>2;

      log39+ log3(x-2)=1/3 log37291/3;  log3(9∙(х-2))= log39

      9(х-2)=9;  х-2=1;  х=3

      Ответ:  х=3;

   3. log2(7x-4)=2+log213

      Преобразуем правую часть.

      Представим число 2 как log24, тогда уравнение примет вид:

      log2(7x-4)=log24+log213

      ОДЗ  7х-4>0;  7х>4;  х>4/7

      log2(7x-4)=log252

      7х-4=52;  7х=56;  х=8

      Ответ: х=8.

   4. lg(2x2+21x+9)-lg(2x+1)=1

      В таком уравнении легче будет сделать проверку:

      lg(2x2+21x+9)-lg(2x+1)=lg10

      lg(2x2+21x+9)/(2x+1)=lg10

      2x2+21x+9/2x+1=10

      2x2+21x+9=20x+10

      2x2+21x-20x+9-10=0

      2x2+x-1=0;  х1=1/2;  х2=-1;

      Проверка:

      х=1/2  левая часть lg(2∙1/4+21∙1/2+9)-lg(2∙1/2+1)=lg(1/2+21/2+9)-lg2=

      lg20-lg2=lg20/2=lg10=1;  1=1

      х=-1   левая часть lg(2∙1-21+9)-lg(-2+1)= Решений нет;

      х=-1   не удовлетворяет данному уравнению, так как в этом случае под

      знаком логарифма получаются отрицательные числа. Итак, данное         

      уравнение имеет один корень.

      Ответ: х=1/2.

IV. Логарифмирование обеих частей уравнения.

   1. xlgx-3=0.01

      ОДЗ   х>0

      Логарифмируем обе части уравнения по основанию 10: lg(xlgx-3)=lg0.01

      По третьему свойству логарифмов имеем: (lgx-3)lgx=-2;  lg2x-3lgx+2=0

      lgx=t;  t2-3t+2=0;  t1=2;  t2=1;

      lgx=2;  x1=100;  lgx=1;  х2=10

      Ответ:  x1=100;   х2=10

   2. 100lg(x+20)=10000

      ОДЗ   х+20>0;   х>-20

      lg(100lg(x+20))=lg10000

      lg(x+20)∙lg100=4

      lg(x+20)∙2=4

      lg(x+20) =2

      102=x+20

      100=x+20

      x=80

      Ответ:  x=80.

V. Приведение логарифмов к одному основанию.

   1. log3x+log5x=log315

      ОДЗ   х>0

      Используем формулу перехода: logab=logcb/logca

      Приведем все члены данного уравнения к основанию 3, тогда:

      log5x=log3x/log35;  имеемlog3x+log3x/log35=log315;

      log3x∙log35+log3x=log35∙log315               

      log3x(log35+1)=log35∙log315

      таккакlog33=1, то   log3x(log35+log33)=log35∙log315

      log3x∙log315=log35∙log315, таккакlog315≠0, тоlog3x=log35;  х=5

      Ответ: х=5

   2. log2(x-1)2-log1/2(x-1)=9

      ОДЗ   х-1>0;  х>1

      log2(x-1)2-log2(x-1)/log21/2=9

      2log2(x-1)-log2(x-1)/-1=9

      2log2(x-1)-log2(x-1)=9

      3log2(x-1)=9

      log2(x-1)=3

      23=x-1;  х-1=8;  х=9

      Ответ: х=9

   3. log2x-2logx2=-1

      ОДЗ    х>0

                 х≠1

      log2x-2log22/log2x =-1

      log22x-2∙1=-log2x

      log22x+log2x-2=0

      log2x=t

      t2+t-2=0;  t1=-2;  t2=1;

      log2x=-2;  log2x=1

      х1=2-2=1/4;  х2=21=2

      Ответ: х1=1/4;  х2=2.

 

Задания для подготовки к контрольной работе по теме:

«Логарифмические уравнения»

   1. log5-x(2x2-5x+31)=2

   2. 4logx5+15∙2logx5=34

   3. 2lgx/lg(8x-7)=1

   4. 100∙x2lgx=x4

   5. 2∙log4x+2logx4=5

   6. log3(2x2+1)-log3(4x+5)=1

   7. log22x-9log2x=10

   8. log32x-4log3x=12

   9. lg(3x2+7)-lg(3x-2)=1

  10. ln(x+4)-ln(x+3)=ln3

  11. 2log162x-log16x-1=0

  12. 1-log5(x+3)=log52

 

 

   Решение логарифмических систем уравнений.

   №342(1)

     lgx-lgy=2

     x-10y=900

     lgx/y=lg100

     x-10y=900

     х>0;  y>0;

     x/y=100

     x=900+10y

     =100

     900+10y=100y

     90y=900

     y=10

     x=900+10∙10

     x=1000

     Ответ: (1000; 10)

 

   №342(2)

     log3x+log3y=2

     x2y-2y+9=0

     log3xy=log39

     x2y-2y+9=0

     ОДЗ   х>0;  y>0

     xy=9

     x2y-2y+9=0

     x=9/y

     (9/y)2∙y-2y+9=0

     81/y-2y+9=0

     81-2y2+9y=0

     2y2-9y-81=0

     y1,2=9±27/4

     y1=36/4=9

     y2== не удовлетворяет ОДЗ

     x1=9/9=1

     Ответ: (1; 9)

 

Решить самостоятельно: Дорофеев (11 класс) 4.146, 4.148, 4.150;

 

Логарифмические неравенства.

   Решение логарифмических неравенств основано на использовании свойства монотонности логарифмической функции.

   Если  logaf(x)>logag(x), то:

 

     а>1                                                     0<а<1

     f(x)>g(x)                                            f(x)

     знак неравенства                              знак неравенства

     сохраняется                                      меняется на противоположный

    

   Итак, решение логарифмических неравенств сводится к решению

таких систем неравенств:

      f(x)>g(x)                 или                      f(x)

      f(x)>0                                                  f(x)>0                                                

      g(x)>0                                                 g(x)>0 

 

   Примеры:

   Алимов №355(2)

   1. log8(4-2x)≥2 

      log8(4-2x)≥log864

     4-2x≥64                                      

     4-2x>0 

     -2x≥60

     -2x>-4 

     x≤-30

     x<2

      x≤-30 

      Ответ: (-∞; -30]

   Алимов №355(6)

   2. log2/3(2-5x)<-2

      log2/3(2-5x)2/39/4, так как 0<а<1, то знак неравенства меняем на

      противоположный.

     2-5х>9/4

     2-5х>0

     -5х>9/4-2

     -5х>-2

     -5х>0,25

     -5х>-2

     х<-0,05

     х<0,4

      Ответ: х<-0,05 или (-∞; -0,05)

   Алимов357(1)

   3. log15(x-3)+log15(x-5)<1

      log15((x-3)∙(x-5))1515

     (x-3)∙(x-5)<15                             

     x-3>0                                          

     x-5>0                                           

     x-3>0                                          

     x-5>0                                           

     x>3                                             

     x>5                                             

     x>5

Решаем первое неравенство:

х2-3х-5х+15<15                          

х2-8х+15-15<0

 

x

8

0

х2-8х<0

х2-8х=0

х(х-8)=0

х1=0;  х2=8

 

    Наносим на одну числовую прямую все корни:

 

                                                                      

                                                                           

                                                                                             x

      0                          5                         8                       

      Ответ: (5; 8)

   Алимов №361(4)

   4. log1/2(x2-5x-6)≥-3

       log1/2(x2-5x-6)≥log1/28

     x2-5x-6≤8

     x2-5x-6>0

      Решаем первое неравенство:

      x2-5x-6≤8

      x2-5x-6-8≤0

      x2-5x-14≤0                                                                                    

      x2-5x-14=0                                                        -2               7         x

      х1=7;  х2=-2

      Решаем второе неравенство:

      x2-5x-6>0

      x2-5x-6=0                                                           -1                 6        x

      х1=6;  х2=-1

      Ищем общее решение:

 


                                                                                                    x

                     -2           -1             6                          7

      Ответ: [-2; -1);  (6; 7]

   5. Решить неравенство:

      log3(x-3)/x+3>0

      log3(x-3)/x+3>log31

      основание а=3>1, следовательно:

 

     (x-3)/x+3>1

     (x-3)/x+3>0

    

      Решаем первое неравенство:

     -1>0

      (х-3-х-3)/х+3>0

      -6/(х+3)>0

      Так как в числителе число отрицательное, то, чтобы дробь была

      положительной, надо чтобы знаменатель был тоже отрицательным,

      то есть  х+3<0;  х<-3;

    

      Решаем второе неравенство:

      x-3/x+3>0

      1) х-3=0;   х1=3

      2) х+3=0;  х2=-3

      3)                                                  Решаем методом интервалов


                +                       +

                      -3                3           x

 

 

      4) Наносим все корни на одну числовую ось:

 

 

                                                                                                      x

                                   -3                 3

    Ответ: (-∞; -3).

        6. Решить неравенство:

       log1/3(3x+1)/(x-2)>-1

       log1/3(3x+1)/(x-2)>log1/33

       так как  а=1/3<1, то

       (3x+1)/(x-2)<3

       (3x+1)/(x-2)>0

       Решаем первое неравенство:

       -3<0;  (3х+1-3х+6)/(х-2)<0;  7/(х-2)<0;  х<2;

       Решаем второе неравенство:

       (3x+1)/(x-2)>0;  3х+1=0;  х=-1/3;  х-2=0;  х=2

 

 

                 +      —          +

                   -1/3               2           x

 

 

       Находим общее решение:

 

 
 

 


 

                 

 

 
 

 


                                     -1/3             2

       Ответ: (-∞; -1/3).

 

       В качестве упражнений для самостоятельной работы решить следующие

логарифмические неравенства:

       а) log2(x2+6-5x)>1

       б) log1/3(3x-2)<1/81

       в) log0,52-4)/(x+10)<-1

       г) lg(3x-2)

       д) log1/3(x-2)-log3(12-x)≥-2

       е) log1/8(10-x)-log6(x-3)≥-1

       ж) log1/3(2x-9)> log1/3(x-2)

        з) log0,5 (2x-1)/(x+1)>1

        При решении не забудьте про область определения и характер монотонности функции.  

 

 

 

   Образец контрольной работы №3 по теме:

«Решение логарифмических уравнений и неравенств»

 

   Вариант №1

   1. Решить логарифмическое уравнение

      а) log4(2x+3)+log4(x-1)=2-log4(5)

      б) log2x-2logx2=-1

      в) 1-log5(x+3)=log52

   2. Решить логарифмическое неравенство

      а) log7>1

      б) log1/6(x2-3x+2)<-1

      в) log3(5x-6)32+3

   3. Решить систему уравнений

       x+y=7

       lgx+lgy=1

 

    Вариант №2

   1. Решить логарифмическое уравнение

      а) log2(2x-1)+log2(x+5)=log252-2

      б) log3x-6logx3=1

      в) 2-log4 (x+3)=log4(x+3)

   2. Решить логарифмическое неравенство

      а) log8(x2-4x+3)≤1

      б) log1/4 ≥-1/2

      в) lgx+2lg2<1/2∙lg49-lg5

   3. Решить систему уравнений

       log4x+log4y=1+log49

       x+y=20

 

   Для получения удовлетворительной оценки достаточно правильно решить по одному примеру из каждого задания.

 

 

 

Диагностическая контрольная работа по теме

«Логарифмы. Логарифмическая функция»

 

   1. Из перечисленных функций выпишите логарифмические

      а) y=ln(2+x)

      б)   y=x+log1/216

      в)   y=log3(x-1)

      г)  y=5log52x

   2. Выберите из перечисленных функций возрастающие

      а) y=log0.075x

      б) y=log√3/2x

      в) y=lgx

      г) y=lnx

   3. Выберите из перечисленных функций убывающие

      а) y=log0.03x

      б) y=log√2/2x

      в) y=lgx

      г) y=lnx

      д)y=log2,5x

   4. Что называется логарифмом числа «b» по основанию «а»

   5. Постройте графики функций f(x)=log1/2xи g(x)=-1. Найдите точки

их пересечения и определите при каких «х» график функции y=f(x) ле-

жит ниже графика функции y=g(x).

   6. Постройте графики функций f(x)=log3xи g(x)=2. Определите, при

каких «х» график функции f(x) лежит ниже графика функции g(x).

   7. Постройте графики функций f(x)=log3xи g(x)=-1. Определите, при

каких «х» график функции y=f(x) лежит ниже графика функции y=g(x).

   8. Упростить и вычислить выражение

      log2b+log4b-1/5log8b приb=1/64

   9. Упростить и вычислить выражение

      2log125a+log5a+1/3log1/5a приa=125

  10. Упростить и вычислить выражение

      4log7a+log1/7a+3log49a приa=1/49

  11. Решить неравенство

      log6x+log6(x+2)≤log624

  12. Решить неравенство

      log2x+log2(x-3)<2

  13. Решить неравенство

      log2(x-4)+log2(x+1)≤6

  14. Решить уравнение

      log4 =2

  15. Прологарифмировать по основанию 5

      А=125∙a3∙b2/

Образцы решения некоторых примеров из ДКР.

 

   1. Ответ: а), в);

   2. Ответ: в), г);

   3. Ответ: а), б);

 

Y

5.                                                               Найти координату точки А

 

 

 

 

 

                            f(x)=y=-1

 

 

 
 

X

 


                                  f(x)=y=log1/2x

 

         Решение:  log1/2x=-1;                               x=(1/2)-1=2               

                                x=2                                 

                                y=-1                                А (2; -1)

      График функции f(x)=log1/2xлежит ниже графика g(x)=-1 при х>2;

то есть (2; ∞)

      Ответ: А (2; -1)

   8. log2b+log4b-1/5log8b=                                       Все три логарифма

       =log2b+ log2b/log24-1/5log2b/log28=                 приведем к основанию 2.

       =log2b+log2b/2-log2b/15=

       =log21/64+log2/ 2- log2/ 15=

       =-6+(-3)-(-6)/15=

       =-6-3+2/5=

       =-9+2/5=-8

      Ответ: -8;

  13. Решить неравенство

      log2(x-4)+log2(x+1)≤6

      log2(x-4)+log2(x+1)≤log264

      log2((x-4)∙(x+1))≤log264

      (x-4)∙(x+1)≤6                                            x2+4x+x-4-6≤0

      x-4>0                                                        x2-3x-10≤0

      x+1>0                                                       x2-3x-10=0

                                                                       x1=5;  х2=-2

      х>4

      х>-1                                                                                -2               5

     х>4                                                                              

 

Наносим все три точки на одну прямую

 

 
 

 

 

 


                                                                                                           x

                                         -2          4                 5                               

Ответ: (4; 5]

  14. Решить уравнение

      log4 =2

      42=

       =16            4+2х=16х-80; 14х=84;  х=6;

      Проверка:

      log4 =log416/1=log416=2;  2=2;

      Ответ: х=6;

  15. Пролагарифмировать по основанию 5

      А=125∙a3∙b2/

  Воспользуемся тремя свойствами логарифмов.

      А=125∙a3∙b2/=

      =log5(125∙a3∙b2)-log5 =

      =log5125+log5a3+log5b2-log5 =

      =3+3log5a+2log5b-1/2log5c

      Ответ: 3+3log5a+2log5b-1/2log5c

 

 

 

You have no rights to post comments

ПРИГЛАШАЕМ!

Приглашаем педагогов со стажем работы по специальности от 25 лет в Клуб ветеранов педагогического труда!

Только для вас - специальные образовательные мероприятия, интересные встречи и многие другие события.

Звоните по телефону: (812) 956-67-42 или пишите на e-mail: Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Просим всех, расскажите о Клубе своим коллегам, которые уже не работают в школе!

Ваши АНОО «АНЭКС» и Экстернат.РФ

Авторизация

Перевод сайта


СВИДЕТЕЛЬСТВО
о регистрации СМИ

Федеральной службы
по надзору в сфере связи,
информационных технологий
и массовых коммуникаций
(Роскомнадзор)
Эл. № ФС 77-44758
от 25 апреля 2011 г.


 

Учредитель:
АНОО «Центр дополнительного
профессионального
образования «АНЭКС»

Главный редактор:
Ольга Дмитриевна Владимирская, к.п.н.,
директор АНОО «Центр ДПО «АНЭКС»